Die Christoffelsymbole ermöglichen die Beschreibung der Bewegung von Teilchen in einem Gravitationsfeld, auf die keine weiteren äußeren Kräfte einwirken.

Es kann sich dabei sowohl um massive als auch masselose Teilchen handeln. Masselos wird als Synonym für Teilchen mit verschwindender Ruhemasse benutzt.

Die Christoffelsymbole werden in diesem Abschnitt über Koordinatentransformationen hergeleitet. Ein anderer möglicher Zugang besteht über das Variationsprinzip.¹

Als Modell dient das kugelsymmetrische Gravitationsfeld der Erde. Es wird durch den Metrischen Tensor (g^ik) der Allgemeinen Relativitätstheorie beschrieben.

Da das Erdgravitationsfeld kugelsymmetrisch ist, ist es inhomogen und daher ortsabhängig. Orte und Zeitpunkte von Ereignissen werden in dem Erdgravitationsfeld durch Koordinaten (x^μ) identifiziert.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie stehen hierfür vier Koordinaten zur Verfügung, d.h. der Koordinatenvektor (x^μ) besteht wie in der Speziellen Relativitätstheorie aus 4 Komponenten,

(x^μ) = (x⁰,x¹,x²,x³).

Diese Koordinaten beschreiben das Gravitationsfeld der Erde vom Standort eines Beobachters aus, der dieses Gravitationsfeld beobachten kann. Seine Koordinaten werden in dem folgenden als allgemeine Koordinaten genannt.

Im Allgemeinen findet man in der Literatur keine Angabe, welche Werte die allgemeinen Koordinaten annehmen, die Literatur beschränkt sich auf die Angabe des Metrischen Tensors des Gravitationsfeldes (g_μν). Die Komponenten des Vektors (x^μ) werden häufig mit t,r,Θ,Φ genannt.

Die allgemeinen Koordinaten müssen die Bedingung ds² = g_μνdx^μdx^ν erfüllen.

Der hierzu passende flache Raum ist das Bezugssystem eines frei fallenden Fahrstuhls. In ihm werden Ereignisse in den Koordinaten (ξ^α) = (ξ⁰,ξ¹,ξ²,ξ²) beschrieben, und für Abstandsberechnungen wird der Metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie benutzt.

Die Koordinaten in dem flachen Raum werden als Minkowskikoordinaten genannt.

Ein Ereignis wäre z.B. die geradlinig gleichförmige Bewegung eines Bleistiftes, den ein Passagier des Fahrstuhles angestoßen hat.

Der Bleistift hat zu jedem Zeitpunkt t die Minkowskikoordinaten (ξ^μ) = (ξ⁰,ξ¹,ξ²,ξ³) = (ct,x,y,z). Zusammen mit dem Metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie (g_ik) kann man die Größe

ds² = g_ikdξⁱdξ^k bestimmen.

ds² ist invariant gegenüber Koordinatentransformationen, d.h. ds² = g_μνdx^μdx^ν gilt auch für die allgemeinen Koordinaten.

Die Christoffelsymbole werden durch Transformation der Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens in dem flachen Raum in allgemeine Koordinaten bestimmt. Die nachfolgenden Ãœberlegungen beschränken sich zunächst auf die kräftefreie Bewegung eines massives Teilchen (es hat eine nicht verschwindende Ruhemasse) mit der Eigenzeit dτ.

Als kräftefreie Bewegung wird eine Bewegung betrachtet, die ca. unter dem Einfluss eines Gravitationsfeldes erfolgt, d.h. es wirken keine weiteren äußeren Kräfte.

Für die kräftefreie Bewegung eines solchen Teilchens gilt in dem flachen Raum folgende Gleichung:

τ ist die Eigenzeit des Teilchens.

Begründung:

Ausgeschrieben lautet diese Gleichung:

Die Beschleunigung ergibt Null nach der Newtonschen Mechanik, ein Teilchen, das sich kräftefrei bewegt, erfährt keine Beschleunigung.

Die Gleichung folgt umittelbar.

Damit ist die oben angebene Bewegungsgleichung eines kräftefreien Teilchens in dem flachen Raum bewiesen.

Man betrachtet jetzt eine Transformation von allgemeinen Koordinaten zu Minkowskikoordinaten:

(x^μ) - > (ξ^α)

d.h. ξ^α ist eine Funktion von (x^μ)

Nach den Regeln der Differentialrechnung (vgl. auch den Abschnitt über Differentialgeometrie) gilt folgendes:

Ãœber die Indizes μ und ν wird summiert.

Nach Multiplikation mit ergibt sich hieraus folgende Bewegungsgleichung:

mit

Γ(κ,μ,ν) = Γ^κ_μν beschreibt die Christoffelsymbole.¹

Die Christoffelsymbole gehen in der angegebenen Form in die Beschreibung der Bewegung eines freien Teilchens in dem Gravitationsfeld ein.

Ihre Bedeutung ist allerdings noch weit umfassender, sie sind konstituierende Bestandteile des Riemannschen Krümmungstensors.

Man kann zeigen, dass sie sich vollständig durch den metrischen Tensor und seine Ableitungen ausdrücken lassen.

Für masselose Teilchen hat man keine Eigenzeit, so dass die Differentiation nach dτ nicht möglich ist. Man behilft sich durch die Einführung eines Parameters λ, mit dessen Hilfe die Bewegungen von Lichtteilchen (Photonen) beschrieben werden können. Die formale Gestalt der Differentialgleichungen bleibt erhalten, man muss ca. τ durch λ ersetzen.

¹Bei der Herleitung nachdem Variationsprinzip erhält man: